Question

15．在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{5}{12}$x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，P是射线AB上一动点，设AP=a，以AP为直径作⊙C．

（1）求cos∠ABO的值；
（2）当a为何值时，⊙C与坐标轴恰有3个公共点；
（3）过P作PM⊥x轴于M，与⊙C交于点D，连接OD交AB于点N，若∠ABO=∠D，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数的解析式和坐标轴上点的坐标特征求出点A、B的坐标，根据余弦的定义计算即可；
（2）分⊙C过原点O和⊙C与OB相切两种情况，根据题意和切线的性质定理以及相似三角形的性质计算即可；
（3）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADP=90°，证明∠ABO=∠AOD，根据正切的定义求出DA的长，在Rt△ADO中，根据余弦的定义求出AP，得到a的值．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{5}{12}$x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A （0，5），B （12，0），
∴AO=5，BO=12．
∵AO⊥BO，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=13，
∴$cos∠ABO=\frac{BO}{AB}=\frac{12}{13}$；
（2）⊙C与坐标轴恰有3个公共点时，⊙C过原点O或⊙C与OB相切，
①⊙C过原点O，
∴a=AB=13；
②如图1，⊙C与OB相切，设切点为H，连接CH，则CH⊥OB，
∵AO⊥OB，
∴△BCH∽△BAO，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{CH}{AO}$，
∴$\frac{{13-\frac{1}{2}a}}{13}=\frac{{\frac{1}{2}a}}{5}$，
∴$a=\frac{65}{9}$．
综上所述：a=13或$a=\frac{65}{9}$；
（3）如图2，连接AD，
∵AP是直径，
∴∠ADP=90°，
∵PM⊥x轴，
∴∠DMB=90°．
∵∠ABO=∠ODM，∠NPD=∠BPM，
∴∠DNP=∠BMP=90°，
∴∠ABO=90°-∠DOM=∠AOD，
∴tan∠AOD=$tan∠ABO=\frac{AO}{BO}=\frac{5}{12}$，
PM⊥x轴，AO⊥x轴，∠ADP=90°，
∴∠OAD=90°，
在Rt△ADO中，tan∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{5}{12}$，
∴AD=$\frac{5}{12}$×5=$\frac{25}{12}$，
又∵∠DAP=∠ABO，
在Rt△ADO中，cos∠DAP=$\frac{AD}{AP}$，
∴AP=$\frac{AD}{cos∠DAP}=\frac{AD}{cos∠ABO}$=$\frac{25}{12}$×$\frac{13}{12}$=$\frac{325}{144}$，
∴$a=AP=\frac{325}{144}$．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线、掌握切线的性质定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．