Question

如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；
（2）若D点的坐标为（7，0），验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；
（3）若D点的坐标为（7，0），想一想直线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）如图1，点M就是要找的圆心．

（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1．设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，依题意有
，
解得，；
所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=-x²+x+4，
把点D（7，0）的横坐标x=7代入上述解析式，得 y=-×49+×7+4=≠0，
所以点D不在经过A、B、C的抛物线上；

（3）证明：由A（0，4），可得小正方形的边长为1．
如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD，
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，
∴∠MCD=90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
分析：（1）题利用“两弦垂直平分线的交点为圆心”可确定圆心位置；
（2）先根据A、B、C三点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点D是否在抛物线的图象上；
（3）由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
点评：本题为综合题，涉及圆、平面直角坐标系、二次函数等知识，需灵活运用相关知识解决问题．本题考查二次函数、圆的切线的判定等初中数学的中的重点知识，试题本身就比较富有创新，在网格和坐标系中巧妙地将二次函数与圆的几何证明有机结合，很不错的一道题，令人耳目一新．