Question

【题目】请阅读下列材料：

问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为，则，所以．

把代入已知方程，得

化简，得

故所求方程为．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．

（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ．

（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；

（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）它的根分别是已知方程根的相反数，因此所求方程的根为y，则y=-x，将x=-y代入方程就可得到所求的方程.（2）设所求方程的根为y，可得到x= ， 将其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情况讨论：当c=0和x≠0，即可求解.（3）设所求方程的根为y，由已知可得到y=x2 ， 由此可得到x= ， 分别将x的值代入方程，就可得到所求的方程.

（1）设所求方程的根为 ，则 ，

所以．

把代入已知方程，得， ，

化简，得 ，

故所求方程为；

（2）设所求方程的根为，则，于是 ，

把代入方程，得 ，

去分母，得 ，

若，有，

于是方程有一个根为0，不符合题意，

，

故所求方程为 ；

（3）设所求方程的根为，则，

所以 ，

①当时，把代入已知方程，得

，即；

②当时，把代入已知方程，得

，即

∴所求方程为或.