Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．

（1）求直线BC的解析式；

（2）求抛物线解析式及顶点坐标；

（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；

（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．

Answer 1

解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵直线BC经过B、C，

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为；y=x﹣．

 

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x；

∴x=﹣=﹣=5，y=x2﹣x=×52﹣×5=﹣，

∴顶点坐标为（5，﹣）；

 

（3）m•n=25；

如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，

在RT△AOE与RT△AME中

∴Rt△AOE≌RT△AME（HL），

∴∠OAE=∠MAE，

同理可证∠BAF=∠MAF，

∴∠EAF=90°，

在RT△EAF中，根据射影定理得AM2=EM•FM，

∵AM=OB=5，ME=m，MF=n，

∴m•n=25；

 

（4）如图3．有三种情况；

①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，

∵直线BC的斜率为，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5；

∵HB=（10﹣t）×，BQ=t，

∴=，

解得；t=，

②当PB=QB时，则10﹣t=t，

解得t=5，

③当PQ=PB时，作QH⊥OB，则PQ=PB=10﹣t，BQ=t，HP=t﹣（10﹣t），QH=t；

∵PQ2=PH2+QH2，

∴（10﹣t）2=【t﹣（10﹣t）]2+（t）2；

解得t=．