Question

凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等．则四边形ABCD一定是

1. A.
   正方形
2. B.
   菱形
3. C.
   等腰梯形
4. D.
   矩形

Answer 1

D
分析：根据每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等，可得S=AB•AD•AC…①，S=BA•BD•BC…②，S=CA•CB•CD…③，S=DA•DB•DC…④，然后由②相等④得（1）由①相等③得（2），再由（1）除以（2）可得AB=CD．即可判定四边形的形状．
解答：解；以A点的角度看，S=AB•AD•AC…①
以B点的角度看，S=BA•BD•BC…②
以C点的角度看，S=CA•CB•CD…③
以D点的角度看，S=DA•DB•DC…④
由②、④得AB•BC=AD•CD…（1）
由①、③得BC•CD=AB•AD…（2）
由（1）÷（2）得，=，
∴CD²=AB²，即CD=AB，
同理可得：BC=AD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
点评：此题主要考查等腰梯形的判定，解答此题的关键是利用每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等，列出各个等式，然后得出CD=AB，问题可解．