题目内容
凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等．则四边形ABCD一定是（ ）
| A．正方形 | B．菱形 | C．等腰梯形 | D．矩形 |
解；以A点的角度看，S=AB?AD?AC…①
以B点的角度看，S=BA?BD?BC…②
以C点的角度看，S=CA?CB?CD…③
以D点的角度看，S=DA?DB?DC…④
由②、④得AB?BC=AD?CD…（1）
由①、③得BC?CD=AB?AD…（2）
由（1）÷（2）得，
=
，
∴CD2=AB2，即CD=AB，
同理可得：BC=AD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
以B点的角度看，S=BA?BD?BC…②
以C点的角度看，S=CA?CB?CD…③
以D点的角度看，S=DA?DB?DC…④
由②、④得AB?BC=AD?CD…（1）
由①、③得BC?CD=AB?AD…（2）
由（1）÷（2）得，
| AB |
| CD |
| CD |
| AB |
∴CD2=AB2，即CD=AB，
同理可得：BC=AD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
练习册系列答案
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