Question

已知关于x的方程x2-(m-2)x-

m2

4

=0．
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x₁，x₂满足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相应的x₁，x₂．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式得到△=（m-2）²-4×（-

m2

4

），再配方得到△=2（m-1）²+2，再根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=m-2，x₁•x₂=

m2

4

≥0，再去绝对值得到x₂=x₁+2或-x₂=-x₁+2，然后分类解方程组．

解答：（1）证明：△=（m-2）²-4×（-

m2

4

）
=2m²-4m+4
=2（m-1）²+2，
∵2（m-1）²≥0，
∴2（m-1）²+2＞0，即△＞0，
∴无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；

（2）解：根据题意得x₁+x₂=m-2，x₁•x₂=

m2

4

≥0，
∵|x₂|=|x₁|+2，
∴x₂=x₁+2或-x₂=-x₁+2，
当x₂=x₁+2时，而x₁+x₂=m-2，则x₂=

m

2

，x₁=

m

2

-2，所以

m

2

（

m

2

-2）=

m2

4

，解得m=0，则x₁=-2，x₂=0；
当-x₂=-x₁+2时，而x₁+x₂=m-2，则x₁=

m

2

，x₂=

m

2

-2，所以

m

2

（

m

2

-2）=

m2

4

，解得m=0，则x₁=0，x₂=-2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．