Question

2．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形性质和平行线性质推出∠BAC=∠OAC即可；
（2）根据平行得出相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC．
∴∠BAC=∠OAC．
即AC平分∠OAB．

（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=1．
又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，
∴∠OAE=60°．
∴OE=AB•cos60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．