Question

已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F．若cos∠MAN=

1

2

，AE=

3

，则阴影部分的面积=

3

2

-

1

6

π

．

Answer 1

分析：由已知可得到∠MAN=60°，从而推出∠2=∠AFD=30°，根据等角对等边得到EF=AE，再根据S_阴=S_△OEF-S_扇形OEB即可求解．

解答：解：连接OE，
∵cos∠MAN=

1

2

，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=

1

2

∠MAN=

1

2

×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD=∠3=60°，
∴∠OEF=90°，EF=AE=

3

，
在Rt△OEF中，tan∠OFE=

OE

EF

，
∴tan30°=

OE

3

．
∴OE=1，
∵∠4=∠2+∠3=60°，
∴S_阴=S_△OEF-S_扇形OEB=

1

2

×1×

3

-

60π×12

360

=

3

2

-

1

6

π．

点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是仔细观察图形，找出不规则图形面积的表示方法，难度一般．