Question

如图，一次函数y=x+m的图象分别交x轴、y轴于点A、B，且与反比例函数y=的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．动点P、Q分别从A、C同时出发，以相同速度沿AD、CA向D、A运动，设AP=k．
（1）若△APQ与△AOB相似，求点Q的坐标．
（2）当k为何值时，△APQ为等腰三角形？
（3）是否存在线段PQ将△ACD的面积两等分的k的值？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵把（4，n）代入反比例函数y=，得：n=6
把（4，6）代入一次函数y=x+m，得：m=3
∴一次函数解析式为：y=x+3．
令x=0，则y=3；令y=0，则x=-4．
∴A（-4，0），B（0，3）．
∴OA=4，OB=3，AC=10，AB=5，
根据题意，得AP=CQ=k，根据勾股定理，得AC=10，则AQ=10-k
当∠APQ=90°时，△APQ∽△AOB，则=，即=，解得k=，
∴P（，0），
∵点Q在直线AB上，
∴当x=时，y=×+3=，
∴Q（，）；
当∠AQP=90°时，△AQP∽△AOB，则有=，即=，k=．
∴P（，0），
∵点Q在直线AB上，
∴当x=时，y=×+3=，
∴Q（，）；

（2）①当AP=AQ时，k=10-k，解得，k=5；
②如图1，当PA=PQ时，过点P作PH⊥AB于点H．则易证△AHP∽△AOB，
故有：=，即=，解得k=；
③当AQ=PQ时，过点Q作BH⊥AD于点H．则易证△AHQ∽△AOB，故有：=，即=，解得k=；
综上所述，符合条件的k的值是5，或；

（3）不存在线段PQ将△ACD的面积两等分的k的值．理由如下：
△ABC的面积=AC•BC=×8×6=24cm²，
假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则点Q到AP的距离为：AQ•sin∠A=（10-k）×=（10-k），
∴△APQ的面积=k•（10-k）=×24，
整理得，k²-10t+40=0，
∵△=（-10）²-4×1×40=-60＜0，
∴此方程无解，
∴不存在线段PQ将△ACD的面积两等分的k的值．
分析：（1）首先根据反比例函数的解析式求得n的值，再根据点C的坐标求得m的值．则易求点A、B的坐标；已知△AOB是直角三角形，要使△APQ与△AOB相似，则∠APQ=90°或
∠AQP=90°．根据题意表示对应的两条边，再根据相似三角形的对应边的比相等列方程求解；
（2）根据当AP=AQ时和当PA=PQ时当QA=QP时，分别得出k的值；
（3）先求出△ACD的面积，然后利用∠A的正弦求出点Q到AP的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△＜0，确定不存在．
点评：此题考查了一次函数综合题，其中涉及到了待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质；（3）此题运用函数的思想，列出函数表达式，再利用函数列出表达式代入数值进行求解．解答（1）、（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解．