Question

时针与分针的夹角
在0时到12时之间，钟面上的时针与分针在什么时候成60 的角？试着尽可能多地找出答案．秒针与时针又共有多少次成60°的角？

Answer 1

分析：这个问题有三种不同层次的解答．
第一种，依直觉作答，可得2时和10时这两个答案；
第二种，对其他答案作近似估计，如在1时15分多一些的某一时刻，等等；
第三种，列方程解答，求出全部答案．

解答：解：设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为每分钟

1

12

个单位长度，将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从0时开始）开始同向而行，要求两者相距10个单位长度所用的时间．
设从0时开始，过z分钟后分针与时针成60°的角，此时分针比时针多走了n圈（n=0，1，2，…，11），则x-

x

12

=60n+10或x-

x

12

=60n+50
解得x=

120

11

(6n+1)或x=

120

11

(6n+5)．
分别令n=0，1，2，3，…，11，即得本题的所有解（精确到秒），共22个：
0：10：55    1：16：22    2：21：49    3：27：16    4：32：44    5：38：11
6：43：38    7：49：05    8：54：33    10：00：00    11：05：27
0：54：33    2：00：00    3：05：27    4：10：55    5：16：22    6：21：49
7：27：16    8：32：44    9：38：11    10：43：38    11：49：05
在12个小时内，秒针相对于时针走了60×12-1-719圈，所以秒针与时针共有719×2=1 438次成60°的角．

点评：本题考查了钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（

1

12

）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．