Question

如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6

3

．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）线段AB与⊙O相切于点C，则可以连接OC，得到OC⊥AB，则OC是等腰三角形OAB底边上的高线，根据三线合一定理，得到AC=3

3

，在直角△OAC中根据勾股定理得到半径OC的长；
（2）图中阴影部分的面积等于△OAB的面积与扇形OCD的面积的差的一半．

解答：解：（1）连接OC，则OC⊥AB．（1分）
∵OA=OB，
∴AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×6

3

=3

3

．（2分）
在Rt△AOC中，OC=

OA2-AC2

=

62-(3 3 )2

=3，
∴⊙O的半径为3；（4分）

（2）∵OC=

1

2

OB，
∴∠B=30°，∠COD=60°（5分）
∴扇形OCD的面积为S_扇形OCD=

60×π×32

360

=

3

2

π，（7分）
∴阴影部分的面积为S_阴影=S_Rt△OBC-S_扇形OCD=

1

2

OC•CB-

3

2

π=

9 3

2

-

3

2

π．（8分）

点评：本题主要考查了圆的切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且注意，不规则图形的面积可以转化为一些规则图形的面积的和或差．