Question

如图，已知在四边形ABCD中，E、F分别为AD、DC的中点，AD∥BC，AD：DC=1：，AB=10、BC=6、EF=4．
（1）求AD的长；
（2）△DEF是什么三角形？请你给出正确的判断，并加以说明；
（3）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）如图：连接AC，
∵E、F分别为AD、DC的中点，∴AC=2EF，∵EF=4，∴AC=8，
∵AB=10，BC=6，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°，
∵AD∥BC，∴∠CAD=90°，
∵AD：DC=1：，∴设AD=x，则CD=x，
即x²+AC²=（x）²，解得x=8，
∴AD的长为8；

（2）∵EF是△ACD的中位线，∴EF∥AC，∴∠DFE=90°，∴△DEF是直角三角形；

（3）∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=AC•BC÷2+AC•AD÷2=8×6÷2+8×8÷2=56．
分析：（1）连接AC，可求得AC的长，根据勾股定理的逆定理，可知∠ACB=90°，由AD∥BC，AD：DC=1：，可得AD的长；
（2）由三角形中位线的性质，可得EF∥AC，即△DEF是直角三角形；
（3）把四边形ABCD的面积分成两个三角形的面积来求，即S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD．
点评：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形面积的求法．