Question

关于x的方程，kx²+（k+1）x+

1

4

k=0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①因为方程有两个不等实根，所以判别式大于0，可以求出k的取值范围．
②根据根与系数的关系，用k的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的倒数和为0的等式中，求出k的值．对不在取值范围内的值要舍去．

解答：解：①△=（k+1）²-4k•

1

4

k，
=k²+2k+1-k²，
=2k+1＞0，
∴k＞-

1

2

，
∵k≠0，
故k＞-

1

2

且k≠0．
②设方程的两根分别是x₁和x₂，则：
x₁+x₂=-

k+1

k

，x₁•x₂=

1

4

，

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

4(k+1)

k

=0，
∴k+1=0，即k=-1，
∵k＞-

1

2

，
∴k=-1（舍去）．
所以不存在．

点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，①题用根的判别式求出k的取值范围，因为是一元二次方程，二次项系数不为0，所以k≠0．②题根据根与系数的关系，把两根和与两根积代入等式求出k的值，对不在取值范围内的值要舍去．