Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；

 (2)如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．求证：S₁∶S₂＝1∶3；

 (3)如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝        °时，EP的长度最大，最大值为        ．

Answer 1

（1）易求得, , 因此得证.

(2)易证得∽,且相似比为，得证.

（3）120°，