Question

已知二次函数y=x²-2bx+b²+c的图象与直线y=1-x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax²（a≠0）的图象上，求a的取值范围．

Answer 1

解：∵二次函数y=x²-2bx+b²+c①的图象与直线y=1-x②只有一个公共点，
∴由①②组成的方程组只有一组解，把②代入①，整理得，x²+（1-2b）x+b²+c-1=0，
∴△=0，即（1-2b）²-4（b²+c-1）=0，得4b+4c=5③，
又∵二次函数y=x²-2bx+b²+c的图象的顶点坐标为（b，c），而顶点在二次函数y=ax²（a≠0）的图象上，
∴c=ab²④，
由③④得，4ab²+4b-5=0，（a≠0）
∴△≥0，即16+4×4a×5≥0，解得a≥-，
所以a的取值范围为a≥-，且a≠0．
分析：根据题意y=x²-2bx+b²+c，y=1-x，组成的方程组只有一组解，消去y得到关于x的方程：x²+（1-2b）x+b²+c-1=0，并且△=0，即（1-2b）²-4（b²+c-1）=0，得4b+4c=5；又二次函数y=x²-2bx+b²+c的图象的顶点坐标为（b，c），而顶点在二次函数y=ax²（a≠0）的图象上，得到c=ab²，消去c得到关于b的方程：4ab²+4b-5=0，（a≠0），于是△≥0，即16+4×4a×5≥0，解不等式即可得到a的取值范围．
点评：本题考查了图象交点的情况由它们的解析式组成的方程组的解的情况决定，再转化为由一元二次方程根的判别式来决定．也考查了抛物线顶点坐标的求法．