如图.点B分别在y轴.x轴正半轴上.且满足$\sqrt{a-b}$+(b2-16)2=0．(1)求A.B两点的坐标.∠OAB的度数,.在第一象限内存在点G.HG交AB于E.使BE为△BHG的中线.且S△BHE=3.①求点E到BH的距离,②求点G的坐标,(3)如图2.C.D是y轴上两点.且BC=OD.连接AD.过点O作MN⊥AD于点N.交直线AB于点M.连接CM.求∠ADO+∠BCM的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图，点B（0，b），点A（a，0）分别在y轴、x轴正半轴上，且满足$\sqrt{a-b}$+（b²-16）²=0．

（1）求A、B两点的坐标，∠OAB的度数；
（2）如图1，已知H（0，1），在第一象限内存在点G，HG交AB于E，使BE为△BHG的中线，且S_△BHE=3，
①求点E到BH的距离；
②求点G的坐标；
（3）如图2，C，D是y轴上两点，且BC=OD，连接AD，过点O作MN⊥AD于点N，交直线AB于点M，连接CM，求∠ADO+∠BCM的值．

分析（1）根据非负数的性质，得出关于a、b的方程组，求得a、b即可得到A、B两点的坐标，最后利用等腰三角形的性质得出∠OAB的度数；
（2）作EF⊥y轴于F，构造等腰直角三角形BEF，进而求出E点坐标，利用△BHE的面积即可得到点E到BH的距离；设G（m，n），根据BE为△BHG的中线，求得点G坐标即可；
（3）过点B作BK⊥OC，交MN于点K，然后证明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB，从而可证明∠ADO+∠BCM=180°．

解答解：（1）∵$\sqrt{a-b}$+（b²-16）²=0，
∴a-b=0，b²-16=0，
解得：b=4，a=4或b=-4，a=-4，
∵A点在x轴正半轴，B点在y轴正半轴上，
∴b=4，a=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴∠OAB=45°；

（2）①如图1，作EF⊥y轴于F，
∵B（0，4），H（0，1），
∴BH=OB-OH=4-1=3，
∵S_△BHE=3，
∴$\frac{1}{2}$BH×EF=3，即$\frac{1}{2}$×3×EF=3，
∴EF=2，
故点E到BH的距离为2．
②∵OA=OB=4，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴△BFE为等腰直角三角形，
∴BF=EF=2，
∴OF=OB-BF=4-2=2，
∴E（2，2），
∴EF=2，
设G（m，n），
∵BE为△BHG的中线，
∴$\frac{m+0}{2}=2$，$\frac{n-1}{2}$+1=2，
解得m=4，n=3，
∴G点坐标为（4，3）；

（3）如图2，过点B作BK⊥OC，交MN于点K，则∠KBO=∠DOA，
∵MN⊥AD，
∴∠DON+∠NOA=90°，
∴∠3+∠NOA=90°，
∵∠NOA+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
在△KOB和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KBO=∠DOA}\\{OA=OB}\\{∠3=∠1\\;}\end{array}\right.$，
∴△KOB≌△OAD（ASA），
∴KB=OD，∠2=∠7，
∵BC=OD，
∴KB=BC，
∵OB=OA，∠BOA=90°，
∴∠OBA=45°，
∴∠9=∠8=45°，
在△MKB和△MCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{MB=MB}\\{∠9=∠8}\\{KB=CB}\end{array}\right.$，
∴△MKB≌△MCB（SAS），
∴∠6=∠5，
∵∠7+∠6=180°，
∴∠2+∠5=180°，即∠ADO+∠BCM=180°．

点评此题主要考查三角形的综合应用，解决问题时需要运用坐标与图形的性质，全等三角形的判定及性质，中点坐标公式，等腰直角三角形的性质以及三角形的面积等，解答时作辅助线构造全等三角形是关键．

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