题目内容
11、若x、y为正整数，使得2xy能整除x2+y2-x，则x为完全平方数．
分析：先设x2+y2-x=2kxy（k为整数），y的值是固定的，根据判别式为完全平方数可以证明x是完全平方数．
解答：证明：设x2+y2-x=2kxy（k为整数），
则关于y的二次方程y2-2kxy+（x2-x）=0的根中有一个y1（y）是整数，另一个y2=2kx-y1也是整数，
其判别式△=4[k2x2-（x2-x）]=4x[（k2-1）x+1]应为完全平方数．
由于x与（k2-1）x+1互质（它们的最大公约数（x，（k2-1）x+1）=（x，1）=1），
所以，x是完全平方数．
则关于y的二次方程y2-2kxy+（x2-x）=0的根中有一个y1（y）是整数，另一个y2=2kx-y1也是整数，
其判别式△=4[k2x2-（x2-x）]=4x[（k2-1）x+1]应为完全平方数．
由于x与（k2-1）x+1互质（它们的最大公约数（x，（k2-1）x+1）=（x，1）=1），
所以，x是完全平方数．
点评：本题考查了完全平方数的问题．其中还考查了判别式和互质的问题．
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