Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上。
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知条件得：梯形周长为12，高4，面积为28，
过点F作FG⊥BC于G，
过点A作AK⊥BC于K，
则可得：FG=×4，
∴S_△BEF=BE·FG=-x²+x（7≤x≤10）；
（2）存在，
由（1）得：-x²+x=14 得x₁=7，x₂=5（不合舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；
（3）不存在，
假设存在，显然是：S_△BEF∶S_AFECD=1∶2，
（BE+BF）∶（AF+AD+DC）=1∶2
则有
整理得：3x²-24x+70=0
△=576-840<0
∴不存在这样的实数x，
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，
同时分成1∶2的两部分。