Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（-4，），且在x轴上截得的线段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式；
（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）(0，)；（3）（2，）或（-10，)

试题分析：（1）先由抛物线的顶点坐标得到抛物线的对称轴，再根据抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，即可得到A、B两点的坐标，从而求得结果；
（2）作点A关于轴的对称点，可得（1，0），连接C交轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小，设直线C的解析式为(k≠0)，根据待定系数法求得函数关系式，即可得到结果；
（3）由（1）可知，C(－4，)，设对称轴交x轴于点D，分①AB=AN₁=6，②AB=BN₂，③N₃A=N₃B，三种情况讨论即可.
（1）∵抛物线的顶点坐标为， 
∴抛物线的对称轴为直线.
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6， 
∴A(-1，0)，B( -7，0)
设抛物线解析式为
∴
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）作点A关于轴的对称点，可得（1，0），连接C交轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小

由作法可知，MA=M
∴MC+MA=MC+M=C
∴当点M在线段C上时，MA+MC取得最小值
∴线段C与轴的交点即为所求点M
设直线C的解析式为(k≠0)　
∴
解得
∴直线C的解析式为 
∴点M的坐标为(0，)；
（3）由（1）可知，C(－4，)，设对称轴交x轴于点D

∴AD=3
∴在Rt△ADC中，
∴∠CAD=30^o
∵AC=BC
∴∠ABC=∠CAB=30^o
∴∠ACB=120°
①如果AB=AN₁=6，过N₁作EN₁⊥x轴于E
由△ABC∽△BAN₁得∠BAN₁=120^o
则∠EAN₁ = 60^o
∴N₁E=3，AE=3
∵A(-1，0)
∴OE=2
∵点N在x轴下方   
∴点N₂(2，)
②如果AB=BN₂，由对称性可知N₂(-10，)
③如果N₃A=N₃B，那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N
经检验，点N₁(2，)与N₂(-10，)都在抛物线上
综上所述，存在这样的点N，使△NAB∽△ABC，点N的坐标为（2，）或（-10，).
点评：解答本题的关键是读懂题意，正确画出图形，注意当明确了图象的顶点时，二次函数关系式一半设成顶点式.