Question

（2013•丹阳市二模）已知A（3，y₁），B（

1

3

，y2）为反比例函数y=

1

x

的图象上的两点，动点P在y轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）

• A．（0，

  5

  4

  ）
• B．（0，1）
• C．（0，

  41

  15

  ）
• D．（0，

  10

  3

  ）

Answer 1

分析：先根据A（3，y₁），B（

1

3

，y2）为反比例函数y=

1

x

的图象上的两点求出A、B的坐标，再根据题意画出图形，在反比例函数的图象上标出AB两点，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于y轴的交点坐标即可．

解答：解：∵A（3，y₁），B（

1

3

，y2）为反比例函数y=

1

x

的图象上的两点，
∴y₁=

1

3

，y₂=3，
∴A（3，

1

3

），B（

1

3

，3），
∴函数图象如图所示：
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交y轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，则

3k+b= 1 3 1 3 k+b=3

，解得

k=-1 b= 10 3

，
∴直线AB的解析式为y=-x+

10

3

，
∴当x=0时，y=

10

3

，即P′（0，

10

3

）．
故选D．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．