Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（-1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x=t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x=t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．
（1）点B关于直线x=t的对称点B′的坐标为

 

；
（2）求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据点B和B′关于x=t对称，则设B′横坐标为a，根据B、B′的横坐标之和的一半为对称轴即可解答；
（2）根据1.5≤t≤4时和0＜t＜1.5时图形的不同，分两种情况得出重合图形的面积表达式，即为S与t的表达式．

解答：解：（1）设B′横坐标为a，
则

-1+a

2

=t，
解得a=2t+1．
故B′点坐标为（2t+1，0）．

（2）①如图，当1.5≤t＜4时，重合部分为三角形，
∵△CPQ∽△COA，
∵

PC

OC

=

PQ

AO

，
即

4-t

4

=

PQ

2

，
则PQ=

4-t

2

．
于是S=

1

2

（4-t）

4-t

2

=

(4-t)2

4

（1.5≤t＜4），

②如图，0＜t＜1.5时，重合部分为四边形，
∵A点坐标为（0，2），
∴A′点坐标为（2t，2），
又∵B′点坐标为（2t+1，0），
设直线A′B′解析式为y=kx+b，则将A′（2t，2），
和B′（2t+1，0）分别代入解析式得，

2tk+b=2 (2t+1)k+b=0

，
解得k=-2，b=2+4t．
解析式为y=-2x+（2+4t），
设直线AC解析式为y=mx+n，将A（0，2），C（4，0）分别代入解析式得，

n=2 4m+n=0

，
解得4m+2=0，m=-

1

2

．
解析式为y=-

1

2

x+2．
将y=-

1

2

x+2和y=-2x+（2+4t）组成方程组得

y=- 1 2 x+2 y=-2x+(2+4t)

得

x= 8t 3 y= 6-4t 3

，
D点坐标为（

8t

3

，

6-4t

3

）．
由于B′坐标为（2t+1，0），C点坐标为（4，0），
故B′C=4-（2t+1）=3-2t，
∴S=S_{四边形QPB'D}=S_△QPC-S_△DB'C=-

13t 2

12

+2t+1（0＜t＜1.5）．

点评：此题以动点问题的形式考查了相似三角形的性质及待定系数法求函数解析式，要充分结合图形特征，找到图中的重合部分，并根据不同情况进行解答．