Question

【题目】如图△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BM是AC边的中线,作AD⊥BM,垂足为点E,交BC于点D,且AH平分∠BAC交BM于N，交BC于H，连接DM，则下列结论：①∠AMB=∠CMD②HN=HD③BN=AD④∠BNH=∠MDC⑤MC=DC中,正确的有( )个

A.5个B.4个C.3个D.2个

Answer 1

【答案】B

【解析】

如图，过点C作KC⊥CA交AD的延长线于K，首先根据等腰直角三角形的性质证明△BHN≌△AHD，得到HN＝HD，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，可判断②③正确，然后利用同角的余角相等得到∠ABM＝∠CAK，进而证明△ABM≌△CAK，得到∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，然后证明△CDM≌△CDK，得到∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，等量代换可得∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，可判断①④正确，而条件不足，无法证明MC=DC，故⑤错误.

解：如图，过点C作KC⊥CA交AD的延长线于K．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，

∴AH⊥BC，BH＝CH，

∴AH＝BH＝CH，

∵AD⊥BM，

∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，

∵∠BNH＝∠ANE，

∴∠HBN＝∠DAH，

∴△BHN≌△AHD（ASA），

∴HN＝HD，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，

∵∠BAM＝∠ACK＝90°，

∴∠BAE＋∠CAK＝90°，

∵∠BAE＋∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠CAK，

∵AB＝AC，

∴△ABM≌△CAK（ASA），

∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，

∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，

∴△CDM≌△CDK（SAS），

∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，

∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确，

由于条件不足，无法证明MC=DC，故⑤错误，

故选：B．