题目内容
已知抛物线y＝x2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
(1)求m的值；
(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线
，且与x轴的左半轴
交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．
解析：
|
(1)∵抛物线y＝x2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，∴△＝(－2)2－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2． (2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1，易得顶点B(1，0)，当x＝0时，y＝1，得A(0，1)． 由1＝x2－2x＋1解得x＝0(舍)，或x＝2，所以C(2，1)． 过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD＝1，BD＝xD－xB＝1． ∴在Rt△CDB中，∠CBD＝45°
，BC＝ 同理，在Rt△AOB中，AO＝OB＝1，于是∠ABO＝45°
，AB＝ ∴∠ABC＝180° －∠CBD－∠ABO＝90° ，AB＝BC，因此△ABC是等腰直角三角形． (3)由题知，抛物线C′的解析式为y＝x2－2x－3，当x＝0时，y＝－3；当y＝0时，x＝－1，或x＝3， ∴E(－1，0)，F(0，－3)，即OE＝1，OF＝3． ①若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1(x1，y1)，作P1M⊥x轴于M． ∵∠P1EM＋∠OEF＝∠EFO＋∠OEF＝90° ， ∴∠P1EM＝∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，于是 ∵EM＝x1＋1，P1M＝y1，∴x1＋1＝3y1．(*) 由于P1(x1，y1)在抛物线C′上，有3(x12－2x1－3)＝x1＋1， 整理得3x12－7x1－10＝0，解得x1＝－1(舍)，或 把 ②若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2(x2，y2)，作P2N⊥与y轴于N． 同①，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，得 ∵P2N＝x2，FN＝3＋y2，∴x2＝3(3＋y2)．(**) 由于P2(x2，y2)在抛物线C′上，有x2＝3(3＋x22－2x2－3)， 整理得3x22－7x2＝0，解得x2＝0(舍)，或 把 综上所述，满足条件的P点的坐标为( |
．
．
，即EM＝3P1M．
．
代人(*)中可解得
．∴P1(
，
)．
，即P2N＝3FN．
．
代人(**)中可解得
．∴P2(
，
)．
)或(
，
)．
x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝
x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝
x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．