题目内容
【题目】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于
的一元二次方程
的两个实数根。
（1）求证：无论
为何值时，方程总有两个不相等的实数根。
（2）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形。
（3）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
【答案】（1）见解析；（2）当
时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（3）
或
，周长为14或16.
【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；
（2）利由一元二次方程根与系数的关系，得：
，
，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；
（3）根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．
解：(1)∵
，
∴无论
为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵AB、AC的长是关于
的一元二次方程
的两个实数根，
∴由一元二次方程根与系数的关系，得：，，
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，由勾股定理，得：
，
即
，
∴
，
整理，得：
，解得：
，
，
∵AB、AC是△ABC的两条边，∴AB＞0，AC＞0，∴AB+AC＞0
而当时，AB+AC＝2×（-5）＋3＝-7＜0，∴不合题意，舍去，故，
∴当时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）由（1）的结论可知，
，∴BC边只能是腰，
∴AB、AC中必有一边长为5，不妨设AB＝5，
也就是说关于的一元二次方程必有一根为5，
∴
，整理得：
，解得：
，
，
当时，原方程为
，两根为：
，
，这时有AB＝5，AC＝4，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为14，
当时，原方程为
，两根为：
，，这时有AB＝5，AC＝6，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为16.
