Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点．
（1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；
（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S_△COD=

9

16

S_△OCB？若存在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别将A、B的坐标代入两个函数中，联立这四个式子可求得两函数的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式设出D点的坐标（设横坐标，用抛物线的解析式表示纵坐标），然后根据题中给出关于面积的等量关系，可求得D点的横坐标，进而可求出D的坐标．
（另一种解法，根据等底三角形面积比等于高的比，可求出D点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得D的坐标．）

解答：解：（1）由题意得：

c=0 k+4=3 a+b+c=3 4a+2b+c=2

，
解得

a=-2 b=5 c=0 k=-1

所求一次函数、二次函数的解析式分别为：y=-x+4；y=-2x²+5x．

（2）依题意，
有：

1

2

|OC|•（-2x²+5x）=

1

2

|OC|×2×

9

16

，
即x²-

5

2

x+

9

16

=0．
解得x₁=

1

4

，x₂=

9

4

，
代入y=-2x²+5x中
得：y₁=

9

8

，y₂=

9

8

．
满足条件的D存在，坐标为D（

1

4

，

9

8

）或（

9

4

，

9

8

）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识．