Question

某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN，准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△EMH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：

设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元。解答下列问题：
（1）S与x之间的函数关系式为S=____；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元？；
（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长。

Answer 1

解：（1）x²+（4-x）²或2x²-8x+16；
（2）W=60×4S_△AEH+80（S_{正方形EFGH-}S_{正方形MNPQ}）+120S_{正方形MNPQ}，=+120x²，
=80x²-160x+1280，配方，得
W=80（x-1）²+1200，
∴当x=1时，W_最小值=1200，
∴所需的最低费用是1200元；
（3）设EM=a米，则MH=（a+1）米，
在Rt△EMH中，a²+（a+1）²=1²+3²，解得，
∵a>0，∴，
∴EM的长为米。