Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过P作PE⊥AB交AC边于点E，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB周长为y．
（1）求证：△APE∽△ACB；
（2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象．

Answer 1

分析：（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出△APE∽△ACB；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=

3

4

x，AE=

5

4

x，即可得出y与x的函数关系式，确定自变量的取值范围，再画出图象．

解答：证明：（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB；

（2）解：在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴

AE

AB

=

AP

AC

=

PE

BC

，
∵AP=x，
∴PE=

3

4

x，AE=

5

4

x，
∴y=10-x+

3

4

x+8-

5

4

x+6=24-

3

2

x，
过点C作CF⊥AB于F，依题意可得：

1

2

•CF•10=

1

2

×8×6，
∴CF=4.8，
∴

3

4

x＜4.8，
解得：x＜6.4，
∴0＜x＜6.4（当x≥6.4时不能构成四边形PECB），
∴y与x的函数关系式为：y=24-

3

2

x（0＜x＜6.4）y与x的函数图象如图．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、一次函数的图象以及列函数解析式，是中档题，难度不大．