题目内容
在平面直角坐标系xOy中,抛物线
经过点N(2,-5),过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M,MN=6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P(x,y)为此抛物线上一动点,连接MP交此抛物线的对称轴于点D,当△DMN为直角三角形时,求点P的坐标;
(3)设此抛物线与y轴交于点C,在此抛物线上是否存在点Q,使∠QMN=∠CNM ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
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【解析】(1)把点M、N的坐标点入抛物线,即可求得,a,b
(2)由△DMN为直角三角形,求出点D的坐标,然后求出直线MD的解析式,即可求得点P的坐标
(3)逆向思维,设存在点Q进行解答
解:(1)∵过点M、N(2,-5),
,
由题意,得M(,
).
∴
解得
∴此抛物线的解析式为. …………………………………2分
(2)设抛物线的对称轴交MN于点G,
若△DMN为直角三角形,则.
∴D1(,
),
(
,
). ………………………………………4分
直线MD1为,直线
为
.
将P(x,)分别代入直线MD1,
的解析式,
得①,
②.
解①得 ,
(舍),
∴(1,0). …………………………………5分
解②得 ,
(舍),
∴(3,-12). ……………………………6分
(3)设存在点Q(x,),
使得∠QMN=∠CNM.
① 若点Q在MN上方,过点Q作QH⊥MN,
交MN于点H,则.
即.
解得,
(舍).
∴(
,3). ……………………………7分
② 若点Q在MN下方,
同理可得(6,
). …………………8分
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