Question

【题目】如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠BAP=α，则∠BCD=______（用含α的式子表示）；

（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）α；（3）S△DEC=2S△ABE，证明见解析．

【解析】

(1)由题意画出图形；

(2)由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；

(3)由“SAS”可证△BAE≌△DAE，可得S△BAE＝S△DAE，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得S△DEC＝2S△ABE．

(1)如图1所示；

(2)∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°．

∵点B关于直线AP的对称点为D，

∴AP垂直平分BD，

∴AB=AD，且AP⊥BD，

∴∠BAP=∠PAD=α，

∴∠DAC=60°﹣2α．

∵AD=AC，

∴∠ACD60°+α，

∴∠BCD=α．

故答案为：α；

(3)S△DEC=2S△ABE，

理由如下：

如图2，过点A作AH⊥CD，连接EH，

∵AC=AD，AH⊥CD，

∴DH=CH，

∴S△DEC=2S△DEH，

∵DE∥AH，

∴S△AED=S△DEH，

∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，

∴△BAE≌△DAE(SAS)，

∴S△BAE=S△DAE，

∴S△DEC=2S△ABE．