题目内容
如果f（x）=x2+x，证明方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．分析：首先根据已知得到：4a2+4a=b2+b，然后分别将方程左右两边配方，即可知有一个为正整数时，另一个为无理数，则问题得证．
解答：解：∵f（x）=x2+x，
又∵4f（a）=f（b），
∴4（a2+a）=b2+b，
∴4a2+4a=b2+b，
∴（2a+1）2=b2+b+1，
∴2a+1=±
，
若b是正整数，
∵b2+b+1不是完全平方式，
∴
是无理数，
同理：b+
=±
，
若a是正整数，
∵4a2+4a+
不是完全平方数，
∴
是无理数，
∴方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．
又∵4f（a）=f（b），
∴4（a2+a）=b2+b，
∴4a2+4a=b2+b，
∴（2a+1）2=b2+b+1，
∴2a+1=±
| b2+b+1 |
若b是正整数，
∵b2+b+1不是完全平方式，
∴
| b2+b+1 |
同理：b+
| 1 |
| 2 |
4a2+4a+
|
若a是正整数，
∵4a2+4a+
| 1 |
| 4 |
∴
4a2+4a+
|
∴方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．
点评：此题考查了一元二次方程的整数根与无理根的知识．解题的关键是配方知识的应用．
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