Question

（1）填空：我们知道一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两根x₁，x₂，则x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

（2）请运用上面你发现的结论，解答问题：已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²； ②（x₁+1）（x₂+1）；
（3）α、β是关于x的方程4x²-4mx+m²+4m=0的两个实根，并且满足（α-1）（β-1）-1=

9

100

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由韦达定理即可得出答案．
（2）先求出x₁+x₂，x₁x₂后对所求代数式进行变形即可求解．
（3）根据韦达定理先求出α+β与αβ，然后代入求解．

解答：解：（1）由韦达定理得：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
故答案为：-

b

a

，

c

a

．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+2=3；
②（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-1+1+1=1．

（3）∵α、β是关于x的方程4x²-4mx+m²+4m=0的两个实根，
∴α+β=m，αβ=

m2+4m

4

，
∵（α-1）（β-1）-1=

9

100

，
∴αβ-（α+β）+1-1=

9

100

，
即：

m2+4m

4

-m=

9

100

，化简得：m²=

9

25

，
故m=±

3

5

，又△=16m²-16m²-16m≥0，解得：m≤0，
故m=-

3

5

．

点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．