Question

如图1，边长为5的正方形ABCD是20×20等距网格图，E是AB的中点，DE将正方形ABCD分成明暗两部分．线段MN的长度为5，MN的初始位置与AB重合．点M在AB上滑动，点N在BC上滑动，且MN的长度保持不变．

（1）如图2，当AM等于1时，MN与DE相交于点O，求ON的长；
（2）如图3，设AM=x，BN=t，MN落在明区部分的长度为y，试用x，t表示y；
（3）观察图1、2、3、4，说明y随x的变化情况．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点O作OF∥AD交AB于F，根据△EOF和△EDA相似求出OF=2EF，设EF=a，表示出MF、OF，再根据AM=1，求出BM，然后利用勾股定理列式求出BN，然后根据△MFO和△MBN相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出a的值，再求出MO：ON，利用勾股定理列式求出MN=5，然后求解即可；
（2）过点O作OF∥AD交AB于F，然后与（1）的思路相同求解即可；
（3）观察图形，分点M在点E上方与下方两种情况解答．
解答：解：（1）如图2，过点O作OF∥AD交AB于F，
则△EOF∽△EDA，
∴=，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=AB=×5=2.5，
∴=，
∴OF=2EF，
设EF=a，则MF=AE-AM-EF=2.5-1-a=1.5-a，
OF=2a，
∵AM=1，
∴BM=5-1=4，
根据勾股定理，BN===3，
∵OF∥AD∥BC，
∴△MFO∽△MBN，
∴=，
即=，
解得a=，
∴MF=1.5-=，
BF=a+2.5=+2.5=，
∴===，
∴ON=5×=；

（2）如图3，过点O作OF∥AD交AB于F，
与（1）的解法相同，设EF=a，则MF=2.5-a-x，
OF=2a，
∵OF∥AD∥BC，
∴△MFO∽△MBN，
∴=，
即=，
解得a=，
∴=，
即=，
解得y=；

（3）由图可知，当0＜x≤2.5时，y随x增大而增大，
当2.5＜x＜5时，y不再变化，为MN的长，是5．
（说明：在（3）中，不论学生用“＜”，还是“≤”，只要分段正确，均不扣分；若注意区分“＜”和“≤”的用法，则酌情加1～4分）
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，难点在于利用好中间量OF，运算量较大，计算时要认真仔细．