Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE，将

△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F.

(1) 当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）.

(2) 当点F在DC的延长线上时如图（2）,当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.

                          

Answer 1

解：图(2)的结论：DF+BE=AF    …………………………………………2分

图(3)的结论：BE-DF=AF   …………………………………………2分

图(2)的证明：延长CD到点G,使DG=BE，连接AG  

需证△ABE≌△ADG               …………………1分

∴∠BAE=∠DAG, ∠AEB=∠AGD

∵CB∥AD

∴∠AEB=∠EAD

∵∠BAE=∠B′AE

∴∠ B′AE =∠DAG

∴∠ GAF =∠DAE

∴∠AGD =∠GAF                    …………………1分

∴GF=AF                          …………………1分

∴BE+DF=AF         ………………………………………1分

     图(3)的证明：在BC上取点M，使BM＝DF，连接AM

需证△ABM≌△ADF                     …………………1分

                ∴∠BAM=∠DAF,AF=AM

                ∵△ABE≌△AB′E

∴∠BAE=∠B′AE 

∴∠MAE=∠DAE

∵AD∥BE

∴∠MEA=∠DAE

∴∠MEA=∠MAE                      …………………1分

∴ME=MA=AF                         …………………1分

∴BE-DF=AF                         …………………1分