题目内容
【题目】已知过点A（0，1）的椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2 ， B为椭圆上的任意一点，且 
|BF1|，|F1F2|， |BF2|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．
【答案】
（1）
解：∵ 
|BF1|，|F1F2|， |BF2|成等差数列，
∴2|F1F2|= |BF1|+ |BF2|= （|BF1|+|BF2|），
由椭圆定义得22c= 2a，
∴c= 
a；
又椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）过点A（0，1），
∴b=1；
∴c2=a2﹣b2=a2﹣1= 
a2，
解得a=2，c= ；
∴椭圆C的标准方程为 
+y2=1；
（2）
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）
联立方程 
，消去y得：
（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0；
依题意直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，
∴x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①
由方程的根与系数关系可得，x1+x2= 
；②
可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k；③
由①②③，解得x2= 
，y2= 
；
由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，即 
＞0；
由 =（﹣2，﹣1）， =（x2，y2﹣1），
∴ 
=﹣2x2﹣y2+1＞0；
即 
+ ﹣1＜0，
整理得，20k2﹣4k﹣3＞0，
解得：k＜﹣ 
或k＞ 
，
∴实数k的取值范围是k＜﹣ 或k＞
【解析】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），根据题意知x1=﹣2，y1=0；联立方程 消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2 ， 由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角， ＞0；由此列不等式求出k的取值范围．
