Question

如图，二次函数y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4）的图象与x轴相交于点A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标（可用含字母m的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数y=

9

x

（x＞0）的图象相交于点C，且∠BAC的正弦值为 

3

5

，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）用求根公式求得A，B两点的坐标，
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D．求得∠BAC的弦和正切值，设CD=3k，则AD=4k．又求得点C，由其反比例函数即求得二次函数解析式．

解答：解：（1）解方程

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m=0，得x₁=-4，x₂=-m．
∵m＜4，∴A（-4，0），B（-m，0）．（2分）

（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D．
∵sin∠BAC=

CD

AC

=

3

5

，
∴tan∠BAC=

CD

AD

=

3

4

，
设CD=3k，则AD=4k．
∵OA=4，∴OD=4k-4，
∴C（4k-4，3k）．
∵点C在反比例函数y=

9

x

(x＞0）的图象上，∴

9

4k-4

=3k，
解得，k₁=-

1

2

（不合题意，舍去），k₂=

3

2

．∴C（2，

9

2

）．（4分）
∵点C在二次函数y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m的图象上，
∴

1

4

×2²+（

m

4

+1）×2+m=

9

2

，∴m=1．
∴二次函数的解析式为y=

1

4

x2+

5

4

x+1．（7分）

点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查了用求根公式求得A，B两点的坐标；考查了直角三角内的三角函数，以及反比例函数的求解．