在Rt△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC=2.BC=22.点D在BC所在的直线上运动.作∠ADE=45°．如图1.若点D在线段BC上运动.DE交AC于E．(1)求证:∠1=∠2．(2)当△ADE是等腰三角形时.求AE的长．(3)如图2.若点D在BC的延长线上运动.DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′.是否存在点D.使△ADE′是等腰三角形?若存在.写出所有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2

，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

分析：（1）求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2，求出即可．
（2）分为三种情况，①DE=AE，②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质（等腰三角形两边相等），三角形全等推出即可．
（3）存在，条件是CD=AC，求出∠DE′A=∠CAD=22.5°，根据CD=CA可得∠CAD=∠ADC，∠ADE=45°可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CAD；再根据∠CAD+∠E′=∠ADE可得∠CAD=∠E′．

解答：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2，
即45°+∠2=45°+∠1，
∴∠1=∠2．

（2）解：当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况：
第一种情况：DE=AE，

∵DE=AE，
∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C，
∴∠AED=90°，∠ADC=90°，
即DE⊥AC，
∴AD=DC，
∴E为AC的中点，
∴AE=

AC=

×2=1；
第二种情况：AD=DE，此时D和B重合，E和C重合，

即AE=AC=2；
第三种情况：AD=DE，

∵在△ABD和△DCE中

∠BAD=∠CDE(∠1=∠2)

∠B=∠C

AD=DE

∴△ABD≌△DCE，
∴BD=CE，AB=DC，
设BD=CE=x，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2

，
∴DC=2

-x，
∴2

-x=2，
x=2

-2，
∴AE=2-（2

-2）=4-2

，
综合上述：AE的值是1，2，4-2

．

（3）解：存在，当D在BC延长线上，且CD=CA时，△ADE′是等腰三角形，
理由是：∵∠ACB=45°，
∴∠ADB＜45°，
∴∠EDB＜90°，
∴∠BDE′永远是钝角，
∴∠ADE′是钝角，
即∠ADE′只能为等腰△ADE′的顶角，
∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′，
又∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=22.5°，
∴∠EDC=67.5°，
∴∠DE′C=∠EDC-∠DCE′=22.5°，
∴∠CAD=∠CE′D，
∴DA=DE′，
∴△ADE′是等腰三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形等指示灯的应用，用了分类讨论思想．