Question

（12分）如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点。

（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；（6分）

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；（6分）

Answer 1

（1）M的坐标为（1，m），A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0） （2）1:2

【解析】

试题分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．

（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比

试题解析：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m（x2―2x―3）＝m（x－1）2―4m，

∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m），

∵抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，

∴当y＝0时，mx2―2mx―3m＝0，

∵m＞0，

∴x2―2x―3＝0，

解得x1＝－1，x,2＝3，

∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）.

（2）当x＝0时，y＝―3m，

∴点C的坐标为（0，－3m），

∴S△ABC＝×|3－（－1）|×|－3m|＝6|m|＝6m，

过点M作MD⊥x轴于D，

则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，

MD＝|－4m |＝4m.

∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC

=

=

=3m．

∴S△BCM：S△ABC=1：2

考点：二次函数的综合题

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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