Question

【题目】已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．

（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=　 　．

（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？

（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）5；（2）4；（3）BD﹣BE =2acos55°．

【解析】试题分析：（1）先判断出∠BPE=∠CAD，进而判断出△PBE≌△ACD，即可得出BD+BE=BC=5；
（2）先构造出等边三角形，再判断出∠BPE=∠FPD，进而判断出△PBE≌△PFD，即可得出BD+BE=BF=4；
（3）类似于（2）的方法判断出△PBE≌△PFD得出BE=DF，再判断出BF=2BG，利用用锐角三角函数求出BG=acos55°，即可BD-BE=BF=2acos55°．

试题解析：解：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形，

∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，

∴∠BPE=∠CAD，

∴△PBE≌△ACD，

∴BE=CD，

∴BD+BE=BD+CD=BC=5，

故答案为5；

（2）如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，

∴△FPB是等边三角形，

∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°，

∵△PDE是等边三角形，

∴PD=PE，∠DPE=60°，

∴∠BPE=∠FPD，

∴△PBE≌△PFD，

∴BE=DF，

∴BD+BE=BD+DF=BF=4；

（3）如图3，

过点P作PF∥AC交BC于F，

∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，

∵AB=AC，∠BAC=70°，

∴∠ABC=∠C=55°，

∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，

∴PF=PB=a，

∵∠BPF=∠DPE=70°，

∴∠DPF=∠EPB，

∵PD=PE，

∴△PBE≌△PFD，

∴BE=DF，

过点P作PG⊥BC于G，

∴BF=2BG，

在Rt△BPG中，∠PBD=55°，

∴BG=BPcos∠PBD=acos55°，

∴BF=2BG=2acos55°，

∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2acos55°．