Question

【题目】如图，二次函数y=x2﹣6x+5的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC．

（1）直接写出点B、C的坐标，B　　；C　　．

（2）点P是y轴右侧拋物线上的一点，连接PB、PC．若△PBC的面积15，求点P的坐标．

（3）设E为线段BC上一点（不含端点），连接AE，一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，当点E的坐标是　　时，点M在整个运动中用时最少，最少用时是　　秒．

（4）若点Q在y轴上，当∠AQB取得最大值时，直接写出点Q的坐标　　．

Answer 1

【答案】（1）（0，5）；（5，0）;（2）P点坐标为：（2，﹣3 ）、（3，﹣4 ）、（﹣1，10 ）或（6，5 ）;（3）（4， ），(2+1);（4）（3，）.

【解析】

（1）将x＝0和y＝0分别代入y=x2﹣6x+5，即可求得B、C的坐标；（2）设x轴上点D，使得△DBC的面积15，求出BD的长，再求直线BC的解析式，得到D点坐标为（﹣1，0）或（11，0），分类讨论D坐标为（﹣1，0）与（11，0）的情况，根据过点D平行于BC的直线l与抛物线交点为满足条件的P求出所有满足条件的P点的坐标；（3）由已知，当AE最短时，M用时最少，当AE⊥BC于点E时，AE最短，根据三角函数求得AE与EB的长，进而求出E点的坐标以及M点运动的最少时间；（4）以AB边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆半径越大，x轴上方的点与AB两点连线夹角越大

当圆F与y轴切于点Q时，∠AQB取得最大值，如图，连FA、FB、FQ，作FH⊥AB于点H，求出QF与FH的长，即可求得点Q坐标.

解：（1）当x=0时，y=5

当y=0时， x2﹣6x+5=0

解得

x1=1，x2=5

故答案为：（0，5）；（5，0）

（2）设x轴上点D，使得△DBC的面积15.

∴BDOC＝15，

解得BD=6

∵C（0，5）；B（5，0）

则可求直线BC解析式为：y=﹣x＋5x

故点D坐标为（﹣1，0）或（11，0）

当D坐标为（﹣1，0）时，过点D平行于BC的直线l与抛物线交点为满足条件的P

则可求得直线l的解析式为：y=﹣x－

求直线l与抛物线交点得：

x2﹣6x+5=﹣x－

解得

x1=2，x2=3

则P点坐标为（2，﹣3）或（3，﹣4）

同理当点D坐标为（11，0）时，直线l的解析式为y=﹣x＋11

求直线l与抛物线交点得：

x2﹣6x+5=﹣x＋11

解得

x1=﹣1，x2=6

则点P坐标为（﹣1，10），（6，5）

综上满足条件P点坐标为：（2，﹣3）、（3，﹣4）、（﹣1，10）或（6，5）

（3）由已知，当AE最短时，M用时最少

则AE⊥BC于点E，由已知，∠ABC=60°，AB=4

∴AE=2，EB=2

∴点E坐标为（4，），点M在整个运动中用时最少为（2＋1）秒

故答案为：（4，），（2＋1）

（4）以AB边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆半径越大，x轴上方的点与AB两点连线夹角越大

当圆F与y轴切于点Q时，∠AQB取得最大值．

如图：连FA、FB、FQ，作FH⊥AB于点H

则可知AH=2

∴QF=OH=3

∴FH=＝

∴点Q坐标为（3，）

故答案为：（3，）