Question

如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P为AC中点,E为边AB上一动点,F为边BC上一点,且满足条件∠EPF=45°, 记四边形PEBF的面积为S₁.

(1)求证:∠APE=∠CFP;

(2)记△CPF的面积为S₂,CF=x.

①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值;

②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.

(第15题)

Answer 1

 (1)∵　∠ EPF=45°,

∴　∠ APE+∠ FPC=180°-45°=135°.

在等腰直角△ABC中,∠ PCF=45°,

则∠ CFP+∠ FPC=180°-45°=135°,

∴　∠ APE=∠ CFP.

(2)①∵　∠ APE=∠ CFP,且∠ FCP=∠ PAE=45°,

在等腰直角△ABC中,AC=AB=4,

又　P为AC的中点,则AP=CP=2,

如图(1),过点P作PH⊥ AB于点H,PG⊥ BC于点G,

(第15题(1))

∵　E在AB上运动,F在BC上运动,且∠ EPF=45°,

∴　2≤x≤4.

②如图(2)所示:

(第15题(2))

图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,

此时EB=BF,即AE=FC,