Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，D是BA延长线上的一点，AD=AC=3，连接DC．
（1）求⊙O的半径；
（2）判断DC所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理证明△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可求得直径，进而求得半径；
（2）首先证明△AOC是等边三角形，得到∠ACO=60°，然后根据等边对等角求得∠DCA=30°，即可得到∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，从而证得DC是⊙O的切线．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
则半径是3；

（2）DC是⊙O的切线．
证明：连接OC．
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠DAC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵AD=AC，
∴∠DCA=∠D=

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∠CAB=30°，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，即DC⊥OC，
∴DC是⊙O的切线．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及切线的判定，切线的判定可以通过判定定理转化成证明垂直的问题．