Question

（1998•山西）设直线y=2x+2分别交x轴、y轴于点A、M，若抛物线经过点A，交x轴于另一点B，交y轴于点C，且顶点P在已知直线上，P点的横坐标为m（m≠-1），
（1）求抛物线的解析式（系数和常数项可用含m代数式来表示）．
（2）由点P作PN⊥x轴于点N，连接PB，当S_△PNB：S_△MAO=4：1时（其中S_△PNB表示△PNB的面积），求m的值．
（3）当S_△PNB：S_△MAO=4：1时，求直线AC的解析式．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，把P和A点的坐标分别代入求出a，h，k的值即可；
（2）由（1）可知A的坐标是（-1，0），OA=1，通过二次函数的解析式求出B点的坐标进而得到OB的长，所以可用含m的代数式表示出△PNB的面积，利用条件S_△PNB：S_△MAO=4：1，即可求出m的值；
（3）由（2）可知m=1，所以y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，所以可求出C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，把A，C点的坐标代入得求出k和b的值即可．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵顶点P在已知直线上，P点的横坐标为m，直线y=2x+2，
∴P的纵坐标为y=2m+2，
∴h=m，k=2m+2，
∴y=a（x-m）²+2m+2，
对于直线y=2x+2，设y=0，则2x+2=0，
∴x=-1，
∴A（-1，0），
把A点的坐标代入y=a（x-m）²+2m+2得：
0=a（-1-m）²+2m+2，
解得：a=-

2

m+1

，
∴y=-

2

m+1

（x-m）²+2m+2；

（2）由（1）可知A的坐标是（-1，0），
∴OA=1，
设x=0，则直线中y=2，
∴M的坐标为（0，2），
∴OM=2，
∴S_△MAO=

1

2

AO•OM=1，
∵S_△PNB：S_△MAO=4：1
∴S_△PNB=4，
设y=-

2

m+1

（x-m）²+2m+2=0，
解得：x=-1或2m+1，
∴B的坐标为（2m+1），
∴OB=2m+1，
∵PM=2m+2，BN=OB-0N=OB-m=m+1，
∴

1

2

•PN•BN=4，
∴

1

2

•（2m+2）•（m+1）=4，
解得：m=1或-3（舍去）；

（3）由（2）可知m=1，所以y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=kx+b，把A，C点的坐标代入得：

0=-k+b 3=b

，
解得：

k=-3 b=3

，
∴y=-3x+3．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数以及一次函数的解析式、二次函数和一次函数和坐标轴的交点问题以及三角形的面积求法和一元二次方程的应用，题目的综合性强，难度中等．