Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.

(1) DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；

(2) 若AD、AB的长是方程x²－10x＋24＝0的两个根，求直角边BC的长。

Answer 1

解：⑴DE与半圆O相切.         

证法一： 连结OD、BD     ∵AB是半圆O的直径

∴∠BDA＝∠BDC＝90°　　

∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点

∴DE＝BE　　　∴∠EBD＝∠BDE

∵OB＝OD   ∴∠OBD＝∠ODB   　

又∵∠ABC＝∠OBD＋∠EBD＝90°

∴∠ODE＝∠ODB＋∠EBD＝90°  　

∴DE与半圆O相切. 

证法二： 连结OD、OE    

                          

∵E是BC上的中点，O是AB上的中点  ∴OE∥AC 

∴∠EOB＝∠OAD，∠EOD＝∠ADO

∵OB＝OD   ∴∠OAD＝∠ADO   　

∴∠EOB＝∠EOD  

又∵OB＝OD，OE＝OE

∴△BOE≌△DOE   ∴∠ODE＝∠ABC＝90°

∴DE与半圆O相切.

（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC

            

∴ Rt△ABD∽Rt△ABC   　　

∴  ＝  即AB²＝AD?AC∴ AC＝

∵ AD、AB的长是方程x²－10x＋24＝0的两个根

解方程x²－10x＋24＝0得： x­­­₁＝4  x₂＝6-

∵ AD<AB  ∴ AD＝4  AB＝6 ∴ AC＝9 

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝9

∴ BC＝＝＝3