题目内容
23、如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接ED、BD.
(1)求证:△ABC∽△BCD
(2)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由.
(1)求证:△ABC∽△BCD
(2)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由.
分析:(1)由于AB为直径,所以∠ADB=∠CDB=90°,所以∠ABC=∠CDB=90°,又因为∠C是公共角,所以△ABC∽△BDC.
(2)连接OD,由于OD=OB,所以∠ODB=∠OBD,因为E为Rt△BCD的斜边BC的中点,所以CE=BD=DE,所以∠EDB=∠EBD,因为∠OBD+∠EBD=90°,所以∠ODB+∠EDB=90°,所以DE与半圆O相切.
(2)连接OD,由于OD=OB,所以∠ODB=∠OBD,因为E为Rt△BCD的斜边BC的中点,所以CE=BD=DE,所以∠EDB=∠EBD,因为∠OBD+∠EBD=90°,所以∠ODB+∠EDB=90°,所以DE与半圆O相切.
解答:证明:(1)∵AB为直径
∴∠ADB=∠CDB=90°,
∴∠ABC=∠CDB=90°,
又∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC.
(2)DE与半圆O相切,
连接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵E为Rt△BCD的斜边BC的中点,
∴CE=BD=DE,
∴∠EDB=∠EBD,
∵∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,
∴DE与半圆O相切.
∴∠ADB=∠CDB=90°,
∴∠ABC=∠CDB=90°,
又∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC.
(2)DE与半圆O相切,
连接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵E为Rt△BCD的斜边BC的中点,
∴CE=BD=DE,
∴∠EDB=∠EBD,
∵∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,
∴DE与半圆O相切.
点评:本题主要考查了圆中三角形的相似的证明,在圆中,由垂径定理和圆周角定理的结论,容易证得相等的角,所以容易证得其中的三角形全等或相似.
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