Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点.

（1）求点，，的坐标；

（2）将绕的中点旋转，得到.

①求点的坐标；

②判断的形状，并说明理由.

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点，使与相似，若存在，请写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①；②是直角三角形；（3），，，

【解析】

（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；

（2）①利用旋转的性质结合A，B，C的坐标得出D点坐标；

②利用勾股定理的逆定理判断的形状即可；

（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．

解：（1）令，则，

解得：，，

∴，.

令，则，∴；

（2）①过作轴于点，

∵绕点旋转得到，

∴，，

在和中

，

∴，

∴，.

∵，，，

∴，，，，

∴，

∵点在第四象限，

∴；

②是直角三角形，

在中，

，

在中

，

，

∴，

∴是直角三角形；

（3）存在

∵，∴，

∵，∴，

作出抛物线的对称轴，

∵M是AB的中点，，，

∴M(,0)，

∴点M在对称轴上.

∵点在对称轴上，

∴设，

当时，

则，∴，

，∴，

∴，.

当时，

则，∴，

，∴，

∴，，

∴，，，.