Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
（1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，四边形PDCE是正方形，则PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图②、③，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．
（2）若D、E两点分别在线段AC和CB上移动时，设BE的长为x，△APD的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）三角板绕点P旋转，△PEB是否能成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以连接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．连接CP，就可以证明△CDP≌△BEP，再根据全等三角形的对应边相等，就可以证明DP=PE；
（2）过点P作PF⊥AC于点F，则PF=

1

2

AC=1，再由△APD的面积y=

1

2

AD•PF=

1

2

（2-x）×1，即可求出y与x之间的函数关系式；
（3）题目只要求是等腰三角形，所以需要分三种情况进行讨论，这样每一种情况下的CE的长也就不难得出．

解答：解：（1）PD=PE依然成立．
证明：如图②，连接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°，
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE．

（2）由（1）得CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
∴△ACP是等腰直角三角形，
∴AP=CP，△PCD≌△PBE，
∴CD=BE=x，
∴AD=AC-CD=2-x，
过点P作PF⊥AC于点F，则PF=

1

2

AC=1，
∴△APD的面积y=

1

2

AD•PF=

1

2

（2-x）×1，
即y=1-

1

2

x．

（3）分三种情况讨论如下：
①当PE=PB时，点C与点E重合，即CE=0．
②当PE=BE时，CE=1．
③当BE=PB时，
若点E在线段CB上时，CE=2-

2

；
若点E在CB延长线上时CE=2+

2

．

点评：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质与判定，第三问的解答应分情况进行论证，不能漏解，有一定难度．