Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足是D，F是BC上一点，EF平分∠AFC，EG⊥AF于点G．
（1）试判断EC与EG，CF与GF是否相等；（直接写出结果，不要求证明）
（2）求证：AG=BC；
（3）若AB=10，AF+BF=12，求EG的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据角平分线性质得出EC=EG，根据勾股定理推出CF=GF即可．
（2）连接BE，推出AE=BE，根据HL证出Rt△AGE≌Rt△BCE即可．
（3）求出BC，根据勾股定理求出AC，设EG=EC=x，则AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得出方程6²+x²=（8-x）²，求出方程的解即可．

解答：（1）解：EC=EG，CF=GF，
理由是：∵∠C=90°，EG⊥AF，EF平分∠AFC，
∴CE=EG，
∵EF=EF，
∴由勾股定理得：CF=GF．

（2）证明：连接BE，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AE=BE，
在Rt△AGE和Rt△BCE中，

AE=BE EG=EC

，
∴Rt△AGE≌Rt△BCE（HL），
∴AG=BC．

（3）解：∵AG=BC=BF+GF，
∴AG=BC=

1

2

（AF+BF）=

1

2

×12=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
设EG=EC=x，则AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得：6²+x²=（8-x）²，
解得：x=1

3

4

，
∴EG的长是1

3

4

．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，去掉三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．用了方程思想．