Question

如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，AH⊥BC，垂足为H，连接BD．
（1）求证：△ABD∽△AHC；
（2）若tan∠ABC=

1

3

，AH=

3

，CH=

2

，求圆O的直径长．

Answer 1

分析：（1）由于AD为直径，AB⊥BD，又AH⊥BC，弧AB对应的∠ADB=∠ACB，则得证△ABD∽△AHC．
（2）由AH、CH的长求得AC的长，由tan∠ABC=

1

3

求得BH的长，再得AB的长，最后由相似三角形对应边成比例求得AD的长．

解答：（1）证明：∵AD是圆O的直径，∴∠ABD=90°．
∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°．
∴∠ABD=∠AHC．
∵∠D=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABD∽△AHC．

（2）解：∵AH⊥CH，AH=

3

，CH=

2

，
∴AC=

5

．
∵tan∠ABC=

1

3

，AH=

3

，
∴BH=3

3

，AB=

(3 3 )2+( 3 )2

=

30

．
∵△ABD∽△AHC，
∴

AB

AH

=

AD

AC

，即

30

3

=

AD

5

，解得AD=5

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，同学们应好好掌握．