Question

如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
 （2）求证：CE=

1

2

BF；
（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论；
（4）猜想BG与CE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；
（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；
（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状；
（4）由△ECG为等腰直角三角形，得到GC=

2

CE，因为GC=GB，即可得到GB=

2

CE．

解答：证明：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，CE=AE，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠DBF，
在△ADC和△FDB中，

∠ACD=∠DFB CD=BD ∠ADC=∠BDF

，
∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）∵△ADC≌△FDB，
∴AC=BF，
又∵CE=AE，
∴CE=

1

2

BF；

（3）△ECG为等腰直角三角形．
∵点H是BC边的中点，
∴GH垂直平分BC，
∴GC=GB，
∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，
又∵BE⊥AC，
∴△ECG为等腰直角三角形；

（4）GB=

2

CE；
∵△ECG为等腰直角三角形，
∴GC=

2

CE，
∵GC=GB，
∴GB=

2

CE．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的判定，此题难度不是很大．